2009. 06. 18
（对不起哈，这两天被疲惫、懒惰、以及其它事情抓住了，现在就来写完它）
让我们来谈谈反德西特空间(AdS)上量子引力与其边界共形场论(CFT)的对应，以及与之相关的两大未解之难题！我们将要谈的这些也可以看作原来那个问题贴的升级。
（一）AdS/CFT对应
先回顾一下AdS/CFT（Maldacena 发现的）对应吧：
一，渐进AdS_5时空有一个彭若斯边界，它是四维Minkovski空间，量子引力的全息原理（这是'tHooft通过对黑洞量子力学的一般性考察发现的）说，渐进AdS_5时空体内的量子引力理论全息对偶于其边界上的某种量子场论。
全息对应的紫外-红外关系告诉我们：这个量子场论的紫外共形场论描写时空体的渐进AdS_5区域（两者都有对称性SO(2, 4)）。当边界场论从紫外流向红外时，它将过渡到描写时空体的中心区域。（如果边界理论在红外流向自由场论或者有mass gap，相应的AdS描述人们其实了解得很少。）
特别，AdS_5时空上的量子引力就对应一个四维共形场论，SO(2, 4)群在边界上作用为共形群，而在AdS_5上作用为等度规群，共形权算子可以合适地等同于AdS_5在所谓的静态坐标中的能量算子。
比方说吧，人们可以考虑在AdS_5这个“盒子”里振动着的一个质量为m的标量场，解相应波动方程，并加上合适的边界条件以使得能量动量不从“盒子”的边界流出去，最后人们就能得到静态坐标中的本征能量, 其中角动量量子数为零的基态本征能量为
E=2+\sqrt{4+m^2}, 或者说 E(E-4)=m^2
在这里我们已经把AdS的半径标度R规定为1了（我们把Plank长度记为l_p）。顺便说一下，文献中有时会见到类似这样的说法“we scale the AdS space to let R=1”, 我总觉得这种说法有点别扭，感觉有些概念性的问题，因为它总让我觉得好像在说AdS那边的理论有标度不变性似的，但其实在AdS边我们并没有标度不变性，SO(2, 4)在AdS_5上作用为等度规群而不是共形群。也许简单地说“we set R=1”或者“we take the R=1unit”就可以了（请原谅哈，我的英文目前还比较烂）。
回到正文上来，全息对应告诉我们，这种能量本征态对应于边界共形场上共形权
D=E
的局域场算子创生出来的态。将这个关系运用到上一段讨论的标量场基态上，我们有：AdS上一个质量为m的标量场基态对应于边界上一个共形权为D的局域场算子，这里
D(D-4)=m^2.
二，另外，规范场大N展开有弦微扰展开的行为，1/N如同弦耦合常数g。而人们早就知道，弦激发要成为基本激发，最自然地就是在10维超弦理论中。当然了，超弦理论是一种量子引力理论。因此，全息原理在AdS空间的超弦理论中最可能的实现方式是：边界上一个共形不变的四维超对称规范场论的大Ｎ展开行为对应于AdS_5XW上的一个超弦理论，这里W表示某个紧致的五维空间。
不妨考虑具有最大超对称性的四维规范场论，即\N=4的超对称Yang-Mills理论，这个理论有一个著名的电磁对偶对称性，对称群为SL(2, Z)。电磁对偶告诉我们\N=4的超对称Yang-Mills理论是强-弱耦合自对偶的。 而另一方面，有这样一种SL(2, Z)自对偶的10维超弦理论就是IIB型弦理论了。
因此，超弦理论如果是一个正确的量子引力理论，它就应该实现量子引力理论的全息原理，这样AdS_5XS^5上的IIB弦就必须对应于边界上\N=4超对称共形场的大Ｎ展开（因为我们考虑的是最简单情形，上文的W就成了这里的S^5, 这是因为S^5的等度规群SO(6)同构于\N=4理论的R对称群SU(4)。），并且SL(2, Z)电磁对偶对称性在双方的作用将告诉我们，弦耦合常数g应该等同于边界理论的规范耦合常数e^2_{YM}。
是这样的吗？是这样的！必须这样吗？必须的！
三，好，我们进一步来考虑AdS_5XS^5上量子引力与边界场论的对应。首先我们来比较这两个理论的真空态。在大N展开中，一个U(N)规范场论有正比于N^2的真空幅。而10维量子引力的真空幅正比于R^8/G。因此，R^8/G ~ N^2, 也即
(l_p/R)^{4} ~ 1/N.
还记得我们在上一段中说过，规范场1/N展开有弦微扰展开的结构，而10维量子引力的微扰修正洽洽是(l_p/R)^{4}的，因此，反过来AdS/CFT对应本身也告诉了人们这个量子引力理论有一个弦微扰论展开。这么循环论证式地绕来绕去正好说明了理论是自洽的！
注意，在弦理论中弦耦合常数g其实要通过基本弦单位l_s与Plank长度l_p的比来定义(l_p/l_s)^4 ~ g. 由此我们可以将l_s与规范场所谓的'tHooft耦合常数\lambda (=N e^2_{YM})联系起来
(R/l_s)^4 ~ \lambda.
总结一下，到目前为止我们都知道些什么了呢？我们知道，如果AdS/CFT对应成立，则：AdS_5XS^5边界上的\N=4超对称共形场论定义了这个空间上一个自洽的量子引力理论，量子引力能量为E的本征态对应到共形场论Ｄ＝Ｅ的局域场算子。当规范场的色自由度N很大时，这个量子引力理论有一个IIB微扰弦展开，它对应于边界规范场论的大N展开，在这个对应中，基本弦单位被联系到tHooft耦合常数（l_s/R）^4 ~1/\lambda, 而量子引力的Plank长度将被联系到规范群的秩N，(l_p/R)^{4} ~ 1/N.
（二）第一个问题
上面我们说到，如果超弦理论是正确的量子引力理论，则AdS/CFT对应必须正确！反之，如果AdS/CFT对应不对，则超弦理论就很可能成为纯数学而不能作为量子引力理论的候选！
那么，AdS/CFT是对，还是不对？对研究超弦理论的人来说，这是一个真正的大问题。
很可能是由于人们对量子引力的全息原理还不够了解，现在人们还不能够明确地回答这个问题。
已经知道的事实是，十年过去了，在迄今为止的所有仔细计算中，从AdS那边得到的结果与从CFT这边得到的结果总是相符合的，没有反例！比方说，人们可以明确地对应AdS_5XS^5上的超引力多重态与\N=4共形场论的手性原初场多重态；人们了解了AdS在高能上的大黑洞激发对应于边界场论的高温消禁闭相，而从AdS热气体相到大黑洞相的Hawking-Page相变对应于边界场论从禁闭相到高温消禁闭相的转变。
而迄今对AdS/CFT最为精细的检验也许是：在N-->infinity 的平面图极限下（这将对应于AdS上的自由弦极限, 即g--> 0），人们仔细计算了一类所谓Z弦算子的局域场算子的反常量纲矩阵，发现它们对应着一些可积自旋链模型的哈密顿量，通过运用Yang-Baxter方程以及对称性分析人们严格地算出了这个反常量纲矩阵的本征值谱。让人吃惊的是，人们发现，这个高度非平凡的谱可以通过仔细研究AdS上的自由弦谱得到，两边的计算均极不平凡并且看起来全不相关，但是两边的结果完全符合！！
人们也还发现了，在自由弦极限下，AdS弦的世界片理论有隐藏的对称性，可能有Yangian(杨是老杨的杨) symmetry。这意味着，在自由弦极限下，AdS弦的世界片理论是一个可积量子场论。返回到对应的边界共形场论上，这又意味着：在平面图极限下，\N=4的超对称共形场论是一个可积系统！！啊，一个四维的可积量子场论啊，可能是一切可积系统的妈妈呀！
但，虽然计算上的证据可以说是已经精细到极致了，但人们却还不能确定这件事情，因为还缺乏一个基本的证明！
请找到这个证明，请找到藏在背后的那个大可积结构！这就是第一个问题！
（三）更迷人的问题
更困难，同时在物理上也许更重要的问题是：找到AdS小黑洞的量子场论描述。
为了明确问题之所在，我们需要对AdS量子态与共形场论局域算子的对应作进一步考察。这个考察将告诉我们，在弱耦合弦极限下，更准确地说是在(R/l_s)>>1>>g的极限下，AdS希尔伯特空间有一个能量区域,
1/(l_s g^2) << E << (R/l_p)^7 \times (1/l_p)
在这区域内，弦的高激发模式变得重要，并且这些模式的引力作用也变得不可忽略，这时候处在高激发模式上的弦将由于引力自作用而坍缩成AdS空间上的小黑洞。这种AdS小黑洞的视界半径比AdS半径R要小得多，因此，它的行为就好像是一个放在10维平坦空间中的施瓦西黑洞，它有负的比热容，它是热力学不稳定的，它会发出霍金辐射，随着它不断辐射，它的质量逐渐减少，而它的温度却不断升高，这样它也辐射得越来越快，最后，在一声爆炸的轰鸣中，灰飞烟灭！
多么美妙的声响！还记得吗？ AdS/CFT对应说，AdS上的一切量子引力过程都被边界场论完全描述。当然，AdS的小黑洞，它的Hawking辐射，它的最后轰鸣，这一切的一切原则上也都可以用边界量子场论来描写。而边界场论是一个幺正的量子力学理论！这就意味着，在考虑了所有的量子引力效应以后，AdS小黑洞的演化将是一个完全幺正的量子力学过程！啊，霍金老头子输了！一年的《花花公子》（还是《阁楼》？我已经记不清了）没有了！
多么令人兴奋的事情！可问题是，问题是：人们完全不了解与这些小黑洞对应的边界量子场论态是什么，不了解两者之间是怎么对应的，更不了解量子场论里一个什么样的效应对应到量子引力里一个什么样的效应，最后挽救了量子论，击败了老头子霍金！
唯一非常明确的是，这必然是一个有限Ｎ效应！
这是因为，前面说过了，小黑洞是超出了自由弦极限的。用边界场论的语言来说：在平面图极限下人们没法理解小黑洞，人们必须要考虑有限Ｎ效应。更进一步，人们可以将前文从对AdS弱耦合弦的考察得来的小黑洞能量范围翻译成未知的边界场论量子态的共形权区间
\lambda^{1/4}(N/\lambda)^2 << D << N^2.
由于\lambda >>1, 显然在N-->infinity的平面图极限下这个区间是不存在的！
以上即是我们要问的第二个问题！
解决这个问题必将带给人们对全息原理的更深刻理解！
如前所说，这将是真正确立AdS/CFT对应的关键所在！！
