（一直说要贴那个Coleman-Mandula定理的，但是破事太多了，毁人啊，先贴个草稿版，内容直接取自我的博士论文第一页，等慢慢再改吧）
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早在上世纪六十年代末，人们开始讨论在量子理论中推广Poincare对称性的可能性。Coleman和Mandula证明如果理论有一个良好定义的非平凡S矩阵元，则Poincare代数没有玻色型的推广。假如一个局域量子场论有质量间隙(mass gap)，它将可以定义一个行为良好的S矩阵元，因此Coleman和Mandula的定理将成立。但，这里有三种重要的例外：其一，局域量子场论不一定有能隙，甚至它可能标度不变，在这种情况下，由于红外发散，严格点说S矩阵元不是一个良好定义的量。此时，理论可能有一个更大的时空对称性，共形对称性。其二，虽然Poincare代数可能没有玻色型推广，但它可能有超代数的推广(虽然在历史上李超代数出现在超对称的发现之后)，具有这种超群时空对称性的量子场论就是一个超对称量子场论。其三，上面两例外同时发生，此时量子场论就将有超共形对称性。研究这种超共形场论的动力学正是本文的主题。
除了上述几种例外，Coleman-Mandula定理还有一个重要的反例，即在两维时空中它不成立！这是因为，两维量子场论中有一大类可积量子场论，这种理论中往往有隐藏着的Yangian对称性。本文的相关章节中可能会涉及这种量子场论，但它们将不会成为本文的中心。
下面一个问题是，为什么我们要研究例外？毕竟，在其标志着现代科学开始的著作中，伽利略已经论述了一个基本的事实，即：日常世界不是标度不变的。并且，当代粒子物理的研究也明明白白地告诉我们，至少在标准模型及其之下的能标范围内，没有超对称！并且也不是标度不变的！如此看来，满足Coleman-Mandula定理的条件是很自然的事情，而上文提到的两种主要例外则纯粹是例外，人们应该将注意力集中在非超对称的没有标度不变性的局域量子场论。为什么我们还要研究超对称共形场论？
首先，我们研究共形场论的主要原因如下。过去几十年，人们已经发现局域量子场论按照标度来组织其动力学行为，同一个理论在不同标度下的表现由重正化群流联系。重正化群流从高能标流向低能标，在流动的过程中不断积去高能标的物理自由度。人们发现，一个良好定义的量子场论通常有下面的重正化群流：这个重正化群流从一个标度不变的紫外固定点开始，比如QCD就有一个自由的紫外固定点(渐进自由)，并在红外流到另一个标度不变的理论(在QCD中由于质量隙(mass gap)的存在，这个红外理论应该是平凡的，但这些还没有得到理论上的证明)。此外，在凝聚态理论中，系统的红外固定点理论描写了各种临界现象。由此可见，标度不变的量子场论 -- 基本上它就是共形场论 --在现实的物理中其实有很重要很有趣的运用。 因此，虽然从S矩阵元，从Coleman-Mandula定理的角度来看共形场论是一种例外情况，但从量子场论本身的结构来看，它洽洽是最基本的情形。
其次，我们研究超对称量子场论的原因如下： 一，如前提到的，超对称是彭伽勒对称性的一种自然推广。在这种扩展中，玻色子与费米子成对出现，这可以很自然地用于或有助于克服一些粒子物理现象学上面的困难。而且，现在已经有可能通过实验，LHC以及一些其它的实验，直接探测到更高能标上超对称存在的证据。二，作为一种时空对称性，超对称还可以被看成来自时空的一个量子维$theta$，其中$theta$是一种格拉斯曼数坐标，某粒子的场以及它的超伴侣粒子的场可以结合成一个在这附加上量子维度的时空($x, theta$)中的超场。故，超对称性可以被认为是更基本的，但未被人们了解的，量子时空在通常时空上的反映。因此，超对称也是时空概念的自然扩展。三，超对称量子场论本身有非常美好的结构和良好的性质，了解这些理想化的量子场论模型(特别是它的各种非微扰行为)可以作为人们了解其它更现实但也更困难的量子场论(特别是它们的非微扰行为)的第一步。四，在超弦理论中，各种超对称量子场论可以作为各种膜和弦系统的低能有效场论，甚至作为具特定渐进边界的时空上量子引力的全息对偶理论出现。因此，研究超对称量子场论是超弦理论研究的一个基本课题。
其三，为什么同时考虑共形对称性和超对称性？对我们而言，这里的原因主要有三个：第一，重正化群流的观点同样告诉我们，超对称共形场论是超对称量子场论的基本情形；第二，超对称共形场论有最美好的结构，最为良好的行为。理解超对称共形场论将是非微扰地理解量子场论的第一步的第一步；第三，超对称共形场论在超弦理论中有最为重要的运用。这一点我们将会在下文的各段落中有进一步的阐述。这里可以先提两条：一，超弦的世界片理论在共形规范中是一种两维超对称共形场论。二，人们猜测，各种AdS时空上的量子引力理论全息对偶于定义在其边界上的各种超对称共形场论(AdS/CFT)。虽然这依然只是理论模型，但，它标志着迄今为止人们对量子引力理论的最好理解。并且，自1997年此猜测被明确提出以来，支持它的证据就一直在快速积累之中。
2009年6月26日星期五
2009年6月24日星期三
神和你和我和小孩子们
（一个小音乐剧，两幕，内容基本独立
仅仅写了唱词）
引
神：
说吧！说出你的心里话
用你的思考，你的嘴巴
说你自己，你的独一无二
老子、孔子、柏拉图还是苏格拉底
管他是谁。不是你的难强求
属于你的终会朝你，奔涌而去
从四面八方，汇入你中，在你中熔化
尔后，自你口中，喷涌而出
你，你的话！
第一幕：我和你和小孩子
我：
古老的法老播种害怕
它们在我心里发芽
盘根纠结，遮天蔽日
把阳光全都挡住了
法老不劳而获
他们咆哮、吼叫
不付出却无节制地得到
你：
于是他们心里空落落
于是法老们睡不着
妖魔鬼怪在午夜悄悄来到
钻入他们体内
死亡的影子变作恐慌、害怕
在法老们内心发芽
最后他们惶惶不可终日
心中只有害怕
于是他们恐吓、欺诈
编出阴曹地府
为的是让恐怖在我们心头发芽
你和我：
于是他们建起金字塔
想防止腐化
却不懂得，唯一的快乐之途在于付出！
永恒之门正好在于溶入他人
以及化作——
一杯黄土
我：
我现在明白
死亡其实并不可怕
坟墓、白骨、阴森恐怖
全都是——欺诈！
如今，我对死亡已不再害怕
我已从恐慌之涧
攀上了充实之崖
我看见，太阳、太阳
出来了！
小孩子：
我也不怕！
恶魔、狼外婆
来吧，一起上吧，我不怕
大不了打不过
我还可以跑呀
你们看我越跑越快
你们看我边跑边笑，渐渐长大
来呀，追我呀！
你们干着坏事
心里害怕，腿都软了吧
来呀，来追我呀！
看我怎么打得你们，满地找牙！
我和你和小孩子：
我们，我们要出发
再没有什么可以阻挡我们了
我走向我，你走向你，而他会走向他
我们将一起，走向远方
我们将和远方光明合一
和这世界拥抱，笑成一团吧！
第二幕：小孩子们
小孩子:
多么好笑，花环再美丽
也不过是根小枝桠
那是我们一起砍伐
我们给它打扮，给它戴满鲜花
因为你好，因为你聪明、力气又大
我们才把它交给你保管
是认你为我们的好哥哥呀
小孩子们：
但花环，它毕竟不是你的呀
它，属于我们大家!
小孩子：
你却紧紧抱着花环不把手撒
你再也不编织了，再也不游戏了
你日日夜夜抱着那花环
抱着一根小小树枝桠
然后，你欺负我们，吓唬我们
编些鬼话，把我们当傻瓜
小孩子们：
骗得了谁呀？吓得了谁呀？
大不了我们和你，吵一架，打一架
把你怀里的旧花环，踩成烂泥巴
小孩子：
原来，你不聪明，你傻呀！
花环，我们可以再编的嘛
但你和我们分开，就再也难以和好了
小孩子们：
而我们再去折些枝条，采些鲜花
然后齐心协力，编些新的花环
又给他们缀上一些五颜六色的鲜花
美丽呀！
——————————————————
原来想要表达的是有点下一代比上一代强这么个意思的东西
但现在回头来看，第二幕显然写得很失败
究其原因，应该是因为我对所要表达的东西懂得不透，或者完全不懂
仅仅写了唱词）
引
神：
说吧！说出你的心里话
用你的思考，你的嘴巴
说你自己，你的独一无二
老子、孔子、柏拉图还是苏格拉底
管他是谁。不是你的难强求
属于你的终会朝你，奔涌而去
从四面八方，汇入你中，在你中熔化
尔后，自你口中，喷涌而出
你，你的话！
第一幕：我和你和小孩子
我：
古老的法老播种害怕
它们在我心里发芽
盘根纠结，遮天蔽日
把阳光全都挡住了
法老不劳而获
他们咆哮、吼叫
不付出却无节制地得到
你：
于是他们心里空落落
于是法老们睡不着
妖魔鬼怪在午夜悄悄来到
钻入他们体内
死亡的影子变作恐慌、害怕
在法老们内心发芽
最后他们惶惶不可终日
心中只有害怕
于是他们恐吓、欺诈
编出阴曹地府
为的是让恐怖在我们心头发芽
你和我：
于是他们建起金字塔
想防止腐化
却不懂得，唯一的快乐之途在于付出！
永恒之门正好在于溶入他人
以及化作——
一杯黄土
我：
我现在明白
死亡其实并不可怕
坟墓、白骨、阴森恐怖
全都是——欺诈！
如今，我对死亡已不再害怕
我已从恐慌之涧
攀上了充实之崖
我看见，太阳、太阳
出来了！
小孩子：
我也不怕！
恶魔、狼外婆
来吧，一起上吧，我不怕
大不了打不过
我还可以跑呀
你们看我越跑越快
你们看我边跑边笑，渐渐长大
来呀，追我呀！
你们干着坏事
心里害怕，腿都软了吧
来呀，来追我呀！
看我怎么打得你们，满地找牙！
我和你和小孩子：
我们，我们要出发
再没有什么可以阻挡我们了
我走向我，你走向你，而他会走向他
我们将一起，走向远方
我们将和远方光明合一
和这世界拥抱，笑成一团吧！
第二幕：小孩子们
小孩子:
多么好笑，花环再美丽
也不过是根小枝桠
那是我们一起砍伐
我们给它打扮，给它戴满鲜花
因为你好，因为你聪明、力气又大
我们才把它交给你保管
是认你为我们的好哥哥呀
小孩子们：
但花环，它毕竟不是你的呀
它，属于我们大家!
小孩子：
你却紧紧抱着花环不把手撒
你再也不编织了，再也不游戏了
你日日夜夜抱着那花环
抱着一根小小树枝桠
然后，你欺负我们，吓唬我们
编些鬼话，把我们当傻瓜
小孩子们：
骗得了谁呀？吓得了谁呀？
大不了我们和你，吵一架，打一架
把你怀里的旧花环，踩成烂泥巴
小孩子：
原来，你不聪明，你傻呀！
花环，我们可以再编的嘛
但你和我们分开，就再也难以和好了
小孩子们：
而我们再去折些枝条，采些鲜花
然后齐心协力，编些新的花环
又给他们缀上一些五颜六色的鲜花
美丽呀！
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原来想要表达的是有点下一代比上一代强这么个意思的东西
但现在回头来看，第二幕显然写得很失败
究其原因，应该是因为我对所要表达的东西懂得不透，或者完全不懂
2009年6月15日星期一
AdS/CFT对应，黑洞，以及两大难题
2009. 06. 18
（对不起哈，这两天被疲惫、懒惰、以及其它事情抓住了，现在就来写完它）
让我们来谈谈反德西特空间(AdS)上量子引力与其边界共形场论(CFT)的对应，以及与之相关的两大未解之难题！我们将要谈的这些也可以看作原来那个问题贴的升级。
（一）AdS/CFT对应
先回顾一下AdS/CFT（Maldacena 发现的）对应吧：
一，渐进AdS_5时空有一个彭若斯边界，它是四维Minkovski空间，量子引力的全息原理（这是'tHooft通过对黑洞量子力学的一般性考察发现的）说，渐进AdS_5时空体内的量子引力理论全息对偶于其边界上的某种量子场论。
全息对应的紫外-红外关系告诉我们：这个量子场论的紫外共形场论描写时空体的渐进AdS_5区域（两者都有对称性SO(2, 4)）。当边界场论从紫外流向红外时，它将过渡到描写时空体的中心区域。（如果边界理论在红外流向自由场论或者有mass gap，相应的AdS描述人们其实了解得很少。）
特别，AdS_5时空上的量子引力就对应一个四维共形场论，SO(2, 4)群在边界上作用为共形群，而在AdS_5上作用为等度规群，共形权算子可以合适地等同于AdS_5在所谓的静态坐标中的能量算子。
比方说吧，人们可以考虑在AdS_5这个“盒子”里振动着的一个质量为m的标量场，解相应波动方程，并加上合适的边界条件以使得能量动量不从“盒子”的边界流出去，最后人们就能得到静态坐标中的本征能量, 其中角动量量子数为零的基态本征能量为
E=2+\sqrt{4+m^2}, 或者说 E(E-4)=m^2
在这里我们已经把AdS的半径标度R规定为1了（我们把Plank长度记为l_p）。顺便说一下，文献中有时会见到类似这样的说法“we scale the AdS space to let R=1”, 我总觉得这种说法有点别扭，感觉有些概念性的问题，因为它总让我觉得好像在说AdS那边的理论有标度不变性似的，但其实在AdS边我们并没有标度不变性，SO(2, 4)在AdS_5上作用为等度规群而不是共形群。也许简单地说“we set R=1”或者“we take the R=1unit”就可以了（请原谅哈，我的英文目前还比较烂）。
回到正文上来，全息对应告诉我们，这种能量本征态对应于边界共形场上共形权
D=E
的局域场算子创生出来的态。将这个关系运用到上一段讨论的标量场基态上，我们有：AdS上一个质量为m的标量场基态对应于边界上一个共形权为D的局域场算子，这里
D(D-4)=m^2.
二，另外，规范场大N展开有弦微扰展开的行为，1/N如同弦耦合常数g。而人们早就知道，弦激发要成为基本激发，最自然地就是在10维超弦理论中。当然了，超弦理论是一种量子引力理论。因此，全息原理在AdS空间的超弦理论中最可能的实现方式是：边界上一个共形不变的四维超对称规范场论的大Ｎ展开行为对应于AdS_5XW上的一个超弦理论，这里W表示某个紧致的五维空间。
不妨考虑具有最大超对称性的四维规范场论，即\N=4的超对称Yang-Mills理论，这个理论有一个著名的电磁对偶对称性，对称群为SL(2, Z)。电磁对偶告诉我们\N=4的超对称Yang-Mills理论是强-弱耦合自对偶的。 而另一方面，有这样一种SL(2, Z)自对偶的10维超弦理论就是IIB型弦理论了。
因此，超弦理论如果是一个正确的量子引力理论，它就应该实现量子引力理论的全息原理，这样AdS_5XS^5上的IIB弦就必须对应于边界上\N=4超对称共形场的大Ｎ展开（因为我们考虑的是最简单情形，上文的W就成了这里的S^5, 这是因为S^5的等度规群SO(6)同构于\N=4理论的R对称群SU(4)。），并且SL(2, Z)电磁对偶对称性在双方的作用将告诉我们，弦耦合常数g应该等同于边界理论的规范耦合常数e^2_{YM}。
是这样的吗？是这样的！必须这样吗？必须的！
三，好，我们进一步来考虑AdS_5XS^5上量子引力与边界场论的对应。首先我们来比较这两个理论的真空态。在大N展开中，一个U(N)规范场论有正比于N^2的真空幅。而10维量子引力的真空幅正比于R^8/G。因此，R^8/G ~ N^2, 也即
(l_p/R)^{4} ~ 1/N.
还记得我们在上一段中说过，规范场1/N展开有弦微扰展开的结构，而10维量子引力的微扰修正洽洽是(l_p/R)^{4}的，因此，反过来AdS/CFT对应本身也告诉了人们这个量子引力理论有一个弦微扰论展开。这么循环论证式地绕来绕去正好说明了理论是自洽的！
注意，在弦理论中弦耦合常数g其实要通过基本弦单位l_s与Plank长度l_p的比来定义(l_p/l_s)^4 ~ g. 由此我们可以将l_s与规范场所谓的'tHooft耦合常数\lambda (=N e^2_{YM})联系起来
(R/l_s)^4 ~ \lambda.
总结一下，到目前为止我们都知道些什么了呢？我们知道，如果AdS/CFT对应成立，则：AdS_5XS^5边界上的\N=4超对称共形场论定义了这个空间上一个自洽的量子引力理论，量子引力能量为E的本征态对应到共形场论Ｄ＝Ｅ的局域场算子。当规范场的色自由度N很大时，这个量子引力理论有一个IIB微扰弦展开，它对应于边界规范场论的大N展开，在这个对应中，基本弦单位被联系到tHooft耦合常数（l_s/R）^4 ~1/\lambda, 而量子引力的Plank长度将被联系到规范群的秩N，(l_p/R)^{4} ~ 1/N.
（二）第一个问题
上面我们说到，如果超弦理论是正确的量子引力理论，则AdS/CFT对应必须正确！反之，如果AdS/CFT对应不对，则超弦理论就很可能成为纯数学而不能作为量子引力理论的候选！
那么，AdS/CFT是对，还是不对？对研究超弦理论的人来说，这是一个真正的大问题。
很可能是由于人们对量子引力的全息原理还不够了解，现在人们还不能够明确地回答这个问题。
已经知道的事实是，十年过去了，在迄今为止的所有仔细计算中，从AdS那边得到的结果与从CFT这边得到的结果总是相符合的，没有反例！比方说，人们可以明确地对应AdS_5XS^5上的超引力多重态与\N=4共形场论的手性原初场多重态；人们了解了AdS在高能上的大黑洞激发对应于边界场论的高温消禁闭相，而从AdS热气体相到大黑洞相的Hawking-Page相变对应于边界场论从禁闭相到高温消禁闭相的转变。
而迄今对AdS/CFT最为精细的检验也许是：在N-->infinity 的平面图极限下（这将对应于AdS上的自由弦极限, 即g--> 0），人们仔细计算了一类所谓Z弦算子的局域场算子的反常量纲矩阵，发现它们对应着一些可积自旋链模型的哈密顿量，通过运用Yang-Baxter方程以及对称性分析人们严格地算出了这个反常量纲矩阵的本征值谱。让人吃惊的是，人们发现，这个高度非平凡的谱可以通过仔细研究AdS上的自由弦谱得到，两边的计算均极不平凡并且看起来全不相关，但是两边的结果完全符合！！
人们也还发现了，在自由弦极限下，AdS弦的世界片理论有隐藏的对称性，可能有Yangian(杨是老杨的杨) symmetry。这意味着，在自由弦极限下，AdS弦的世界片理论是一个可积量子场论。返回到对应的边界共形场论上，这又意味着：在平面图极限下，\N=4的超对称共形场论是一个可积系统！！啊，一个四维的可积量子场论啊，可能是一切可积系统的妈妈呀！
但，虽然计算上的证据可以说是已经精细到极致了，但人们却还不能确定这件事情，因为还缺乏一个基本的证明！
请找到这个证明，请找到藏在背后的那个大可积结构！这就是第一个问题！
（三）更迷人的问题
更困难，同时在物理上也许更重要的问题是：找到AdS小黑洞的量子场论描述。
为了明确问题之所在，我们需要对AdS量子态与共形场论局域算子的对应作进一步考察。这个考察将告诉我们，在弱耦合弦极限下，更准确地说是在(R/l_s)>>1>>g的极限下，AdS希尔伯特空间有一个能量区域,
1/(l_s g^2) << E << (R/l_p)^7 \times (1/l_p)
在这区域内，弦的高激发模式变得重要，并且这些模式的引力作用也变得不可忽略，这时候处在高激发模式上的弦将由于引力自作用而坍缩成AdS空间上的小黑洞。这种AdS小黑洞的视界半径比AdS半径R要小得多，因此，它的行为就好像是一个放在10维平坦空间中的施瓦西黑洞，它有负的比热容，它是热力学不稳定的，它会发出霍金辐射，随着它不断辐射，它的质量逐渐减少，而它的温度却不断升高，这样它也辐射得越来越快，最后，在一声爆炸的轰鸣中，灰飞烟灭！
多么美妙的声响！还记得吗？ AdS/CFT对应说，AdS上的一切量子引力过程都被边界场论完全描述。当然，AdS的小黑洞，它的Hawking辐射，它的最后轰鸣，这一切的一切原则上也都可以用边界量子场论来描写。而边界场论是一个幺正的量子力学理论！这就意味着，在考虑了所有的量子引力效应以后，AdS小黑洞的演化将是一个完全幺正的量子力学过程！啊，霍金老头子输了！一年的《花花公子》（还是《阁楼》？我已经记不清了）没有了！
多么令人兴奋的事情！可问题是，问题是：人们完全不了解与这些小黑洞对应的边界量子场论态是什么，不了解两者之间是怎么对应的，更不了解量子场论里一个什么样的效应对应到量子引力里一个什么样的效应，最后挽救了量子论，击败了老头子霍金！
唯一非常明确的是，这必然是一个有限Ｎ效应！
这是因为，前面说过了，小黑洞是超出了自由弦极限的。用边界场论的语言来说：在平面图极限下人们没法理解小黑洞，人们必须要考虑有限Ｎ效应。更进一步，人们可以将前文从对AdS弱耦合弦的考察得来的小黑洞能量范围翻译成未知的边界场论量子态的共形权区间
\lambda^{1/4}(N/\lambda)^2 << D << N^2.
由于\lambda >>1, 显然在N-->infinity的平面图极限下这个区间是不存在的！
以上即是我们要问的第二个问题！
解决这个问题必将带给人们对全息原理的更深刻理解！
如前所说，这将是真正确立AdS/CFT对应的关键所在！！
（对不起哈，这两天被疲惫、懒惰、以及其它事情抓住了，现在就来写完它）
让我们来谈谈反德西特空间(AdS)上量子引力与其边界共形场论(CFT)的对应，以及与之相关的两大未解之难题！我们将要谈的这些也可以看作原来那个问题贴的升级。
（一）AdS/CFT对应
先回顾一下AdS/CFT（Maldacena 发现的）对应吧：
一，渐进AdS_5时空有一个彭若斯边界，它是四维Minkovski空间，量子引力的全息原理（这是'tHooft通过对黑洞量子力学的一般性考察发现的）说，渐进AdS_5时空体内的量子引力理论全息对偶于其边界上的某种量子场论。
全息对应的紫外-红外关系告诉我们：这个量子场论的紫外共形场论描写时空体的渐进AdS_5区域（两者都有对称性SO(2, 4)）。当边界场论从紫外流向红外时，它将过渡到描写时空体的中心区域。（如果边界理论在红外流向自由场论或者有mass gap，相应的AdS描述人们其实了解得很少。）
特别，AdS_5时空上的量子引力就对应一个四维共形场论，SO(2, 4)群在边界上作用为共形群，而在AdS_5上作用为等度规群，共形权算子可以合适地等同于AdS_5在所谓的静态坐标中的能量算子。
比方说吧，人们可以考虑在AdS_5这个“盒子”里振动着的一个质量为m的标量场，解相应波动方程，并加上合适的边界条件以使得能量动量不从“盒子”的边界流出去，最后人们就能得到静态坐标中的本征能量, 其中角动量量子数为零的基态本征能量为
E=2+\sqrt{4+m^2}, 或者说 E(E-4)=m^2
在这里我们已经把AdS的半径标度R规定为1了（我们把Plank长度记为l_p）。顺便说一下，文献中有时会见到类似这样的说法“we scale the AdS space to let R=1”, 我总觉得这种说法有点别扭，感觉有些概念性的问题，因为它总让我觉得好像在说AdS那边的理论有标度不变性似的，但其实在AdS边我们并没有标度不变性，SO(2, 4)在AdS_5上作用为等度规群而不是共形群。也许简单地说“we set R=1”或者“we take the R=1unit”就可以了（请原谅哈，我的英文目前还比较烂）。
回到正文上来，全息对应告诉我们，这种能量本征态对应于边界共形场上共形权
D=E
的局域场算子创生出来的态。将这个关系运用到上一段讨论的标量场基态上，我们有：AdS上一个质量为m的标量场基态对应于边界上一个共形权为D的局域场算子，这里
D(D-4)=m^2.
二，另外，规范场大N展开有弦微扰展开的行为，1/N如同弦耦合常数g。而人们早就知道，弦激发要成为基本激发，最自然地就是在10维超弦理论中。当然了，超弦理论是一种量子引力理论。因此，全息原理在AdS空间的超弦理论中最可能的实现方式是：边界上一个共形不变的四维超对称规范场论的大Ｎ展开行为对应于AdS_5XW上的一个超弦理论，这里W表示某个紧致的五维空间。
不妨考虑具有最大超对称性的四维规范场论，即\N=4的超对称Yang-Mills理论，这个理论有一个著名的电磁对偶对称性，对称群为SL(2, Z)。电磁对偶告诉我们\N=4的超对称Yang-Mills理论是强-弱耦合自对偶的。 而另一方面，有这样一种SL(2, Z)自对偶的10维超弦理论就是IIB型弦理论了。
因此，超弦理论如果是一个正确的量子引力理论，它就应该实现量子引力理论的全息原理，这样AdS_5XS^5上的IIB弦就必须对应于边界上\N=4超对称共形场的大Ｎ展开（因为我们考虑的是最简单情形，上文的W就成了这里的S^5, 这是因为S^5的等度规群SO(6)同构于\N=4理论的R对称群SU(4)。），并且SL(2, Z)电磁对偶对称性在双方的作用将告诉我们，弦耦合常数g应该等同于边界理论的规范耦合常数e^2_{YM}。
是这样的吗？是这样的！必须这样吗？必须的！
三，好，我们进一步来考虑AdS_5XS^5上量子引力与边界场论的对应。首先我们来比较这两个理论的真空态。在大N展开中，一个U(N)规范场论有正比于N^2的真空幅。而10维量子引力的真空幅正比于R^8/G。因此，R^8/G ~ N^2, 也即
(l_p/R)^{4} ~ 1/N.
还记得我们在上一段中说过，规范场1/N展开有弦微扰展开的结构，而10维量子引力的微扰修正洽洽是(l_p/R)^{4}的，因此，反过来AdS/CFT对应本身也告诉了人们这个量子引力理论有一个弦微扰论展开。这么循环论证式地绕来绕去正好说明了理论是自洽的！
注意，在弦理论中弦耦合常数g其实要通过基本弦单位l_s与Plank长度l_p的比来定义(l_p/l_s)^4 ~ g. 由此我们可以将l_s与规范场所谓的'tHooft耦合常数\lambda (=N e^2_{YM})联系起来
(R/l_s)^4 ~ \lambda.
总结一下，到目前为止我们都知道些什么了呢？我们知道，如果AdS/CFT对应成立，则：AdS_5XS^5边界上的\N=4超对称共形场论定义了这个空间上一个自洽的量子引力理论，量子引力能量为E的本征态对应到共形场论Ｄ＝Ｅ的局域场算子。当规范场的色自由度N很大时，这个量子引力理论有一个IIB微扰弦展开，它对应于边界规范场论的大N展开，在这个对应中，基本弦单位被联系到tHooft耦合常数（l_s/R）^4 ~1/\lambda, 而量子引力的Plank长度将被联系到规范群的秩N，(l_p/R)^{4} ~ 1/N.
（二）第一个问题
上面我们说到，如果超弦理论是正确的量子引力理论，则AdS/CFT对应必须正确！反之，如果AdS/CFT对应不对，则超弦理论就很可能成为纯数学而不能作为量子引力理论的候选！
那么，AdS/CFT是对，还是不对？对研究超弦理论的人来说，这是一个真正的大问题。
很可能是由于人们对量子引力的全息原理还不够了解，现在人们还不能够明确地回答这个问题。
已经知道的事实是，十年过去了，在迄今为止的所有仔细计算中，从AdS那边得到的结果与从CFT这边得到的结果总是相符合的，没有反例！比方说，人们可以明确地对应AdS_5XS^5上的超引力多重态与\N=4共形场论的手性原初场多重态；人们了解了AdS在高能上的大黑洞激发对应于边界场论的高温消禁闭相，而从AdS热气体相到大黑洞相的Hawking-Page相变对应于边界场论从禁闭相到高温消禁闭相的转变。
而迄今对AdS/CFT最为精细的检验也许是：在N-->infinity 的平面图极限下（这将对应于AdS上的自由弦极限, 即g--> 0），人们仔细计算了一类所谓Z弦算子的局域场算子的反常量纲矩阵，发现它们对应着一些可积自旋链模型的哈密顿量，通过运用Yang-Baxter方程以及对称性分析人们严格地算出了这个反常量纲矩阵的本征值谱。让人吃惊的是，人们发现，这个高度非平凡的谱可以通过仔细研究AdS上的自由弦谱得到，两边的计算均极不平凡并且看起来全不相关，但是两边的结果完全符合！！
人们也还发现了，在自由弦极限下，AdS弦的世界片理论有隐藏的对称性，可能有Yangian(杨是老杨的杨) symmetry。这意味着，在自由弦极限下，AdS弦的世界片理论是一个可积量子场论。返回到对应的边界共形场论上，这又意味着：在平面图极限下，\N=4的超对称共形场论是一个可积系统！！啊，一个四维的可积量子场论啊，可能是一切可积系统的妈妈呀！
但，虽然计算上的证据可以说是已经精细到极致了，但人们却还不能确定这件事情，因为还缺乏一个基本的证明！
请找到这个证明，请找到藏在背后的那个大可积结构！这就是第一个问题！
（三）更迷人的问题
更困难，同时在物理上也许更重要的问题是：找到AdS小黑洞的量子场论描述。
为了明确问题之所在，我们需要对AdS量子态与共形场论局域算子的对应作进一步考察。这个考察将告诉我们，在弱耦合弦极限下，更准确地说是在(R/l_s)>>1>>g的极限下，AdS希尔伯特空间有一个能量区域,
1/(l_s g^2) << E << (R/l_p)^7 \times (1/l_p)
在这区域内，弦的高激发模式变得重要，并且这些模式的引力作用也变得不可忽略，这时候处在高激发模式上的弦将由于引力自作用而坍缩成AdS空间上的小黑洞。这种AdS小黑洞的视界半径比AdS半径R要小得多，因此，它的行为就好像是一个放在10维平坦空间中的施瓦西黑洞，它有负的比热容，它是热力学不稳定的，它会发出霍金辐射，随着它不断辐射，它的质量逐渐减少，而它的温度却不断升高，这样它也辐射得越来越快，最后，在一声爆炸的轰鸣中，灰飞烟灭！
多么美妙的声响！还记得吗？ AdS/CFT对应说，AdS上的一切量子引力过程都被边界场论完全描述。当然，AdS的小黑洞，它的Hawking辐射，它的最后轰鸣，这一切的一切原则上也都可以用边界量子场论来描写。而边界场论是一个幺正的量子力学理论！这就意味着，在考虑了所有的量子引力效应以后，AdS小黑洞的演化将是一个完全幺正的量子力学过程！啊，霍金老头子输了！一年的《花花公子》（还是《阁楼》？我已经记不清了）没有了！
多么令人兴奋的事情！可问题是，问题是：人们完全不了解与这些小黑洞对应的边界量子场论态是什么，不了解两者之间是怎么对应的，更不了解量子场论里一个什么样的效应对应到量子引力里一个什么样的效应，最后挽救了量子论，击败了老头子霍金！
唯一非常明确的是，这必然是一个有限Ｎ效应！
这是因为，前面说过了，小黑洞是超出了自由弦极限的。用边界场论的语言来说：在平面图极限下人们没法理解小黑洞，人们必须要考虑有限Ｎ效应。更进一步，人们可以将前文从对AdS弱耦合弦的考察得来的小黑洞能量范围翻译成未知的边界场论量子态的共形权区间
\lambda^{1/4}(N/\lambda)^2 << D << N^2.
由于\lambda >>1, 显然在N-->infinity的平面图极限下这个区间是不存在的！
以上即是我们要问的第二个问题！
解决这个问题必将带给人们对全息原理的更深刻理解！
如前所说，这将是真正确立AdS/CFT对应的关键所在！！
2009年6月14日星期日
哲学小结
小结一下哲学部分的东东
1）形而上学
我关于形而上学问题的一些思考主要概括在
2009年6月14日 星期日
《形而上学之歌》
这篇文章里面。
读者可能从中可以看到很多前人的影响
这其中也许要以Plato的影响为最
2）认识论
我关于认识论上的一些思考主要概括在
2009年2月1日 星期日
《世界在头脑之中——Thinking Clearly and Effectively》
这篇文章里面。
其中关于学问之目标的观点主要来自于A. Einstein；
而思维方式分类中natural thinking的部分则深受当代数学家Thurston的影响；
另外，方法论以及“试、问、思、练、鉴、学、教、证”主要来自于自己平时对前人以及自己解题经验的反思。
3）关于自我
关于发现自我、完善自我的思考则主要概括在下面两篇文章里
2009年1月19日 星期一
《自在》
2009年4月17日 星期五
《生命一体》
其中《自在》受到了爱默生的影响。
4）关于教育
我在教育问题上的一些思考总结于文章
2009年2月1日 星期日
《教育之道》
其中关于物理教育的看法多来自于R. P. Feynman。
5）关于诗歌
我关于诗歌的观点总结在
2009年3月25日 星期三
《文字世界》
这篇东西受到了金子美玲诗歌的很大影响。
最后，读者可以看到，这几个部分的观点虽然并不相违背，但也不是可以决然分开的，它们之间往往有很多的相互渗透。
--------------------我狂妄签名的分隔线---------------------
在我死之前，请让我完成我应该完成的事情！
现在它就是研究理论物理，尔后还有家庭、朋友。
我想应该已经没人能阻挡我干我应该干的事情了
1）形而上学
我关于形而上学问题的一些思考主要概括在
2009年6月14日 星期日
《形而上学之歌》
这篇文章里面。
读者可能从中可以看到很多前人的影响
这其中也许要以Plato的影响为最
2）认识论
我关于认识论上的一些思考主要概括在
2009年2月1日 星期日
《世界在头脑之中——Thinking Clearly and Effectively》
这篇文章里面。
其中关于学问之目标的观点主要来自于A. Einstein；
而思维方式分类中natural thinking的部分则深受当代数学家Thurston的影响；
另外，方法论以及“试、问、思、练、鉴、学、教、证”主要来自于自己平时对前人以及自己解题经验的反思。
3）关于自我
关于发现自我、完善自我的思考则主要概括在下面两篇文章里
2009年1月19日 星期一
《自在》
2009年4月17日 星期五
《生命一体》
其中《自在》受到了爱默生的影响。
4）关于教育
我在教育问题上的一些思考总结于文章
2009年2月1日 星期日
《教育之道》
其中关于物理教育的看法多来自于R. P. Feynman。
5）关于诗歌
我关于诗歌的观点总结在
2009年3月25日 星期三
《文字世界》
这篇东西受到了金子美玲诗歌的很大影响。
最后，读者可以看到，这几个部分的观点虽然并不相违背，但也不是可以决然分开的，它们之间往往有很多的相互渗透。
--------------------我狂妄签名的分隔线---------------------
在我死之前，请让我完成我应该完成的事情！
现在它就是研究理论物理，尔后还有家庭、朋友。
我想应该已经没人能阻挡我干我应该干的事情了
形而上学之歌
(一)
大光明是一个绝对的存在！
它绝对简单、绝对确定、绝对秩序同时又绝对自由。
大光明，一个绝对真、绝对美的世界！
经验世界却是变动不居的存在！
它丰富，同时也混乱
它禁锢，却没有同时产生秩序
在这里，真，以及美都是相对
大光明处上，轻灵如天
经验世界居下，广袤若地
而生命，是一条光明河流
它发源于经验之地，穿行过漆黑的虚空
奔向大光明！
（二）
而这条生命河流是一个整体！
它由两部分组成
其一为生命形式，另一为生命实质
生命形式变动而丰富多样
生命的实质则为一
这同一的生命实质灌注了多样的生命形式
这多种生命形式又一同承载着生命的实质
抛弃彼一，则无从表现此多
离开此多，则无以承载彼一
（三）
各不同的生命形式有其不同的天性(nature)!
而正义(justice)，是：
不同的生命形式得到合适地灌注，各自完成其天性，
成就其独特的自己，并相互谐和、共同组成生命之整体！
当正义得以实现
生命的实质与其形式二者融合
生命河流与大光明光芒合一
生命整体达到其完善的境地
（四）
而人，人之整体
以及其它一切可能的智慧生命
是这条生命光明河的护航者
人的天然使命是：
引领并守护这条光明河流
使其光明不致消亡在漆黑的太空
并带领它最终溶入完美的大光明境地！
（五）
为了成为一个合格的护航者
人需要懂得节制
而节制是：谐和充盈着人之整体
此外，还需要有智慧，以及勇气
唯智慧可以引领光明河前进的方向
唯勇气可以抵抗黑暗的吞噬，光明之消亡
护航者各有其不同的天性
有长于观察，有长于解题
有长于思想，也有长于构建体系
更有一些，长于创造，长于发现新的天地
而正义之体现正在于：
这些天性不同的人，各自完成其自己
做好自己应该做的事情，不去干涉和妨碍他人
并且最终得到他们所应该得到的
（六）
最后，我们来谈谈个体，谈谈他，我，还有你
我们各自不同，但我们都应该自成一个完整而谐和的生命体
让我们的理性与激情各行其事
让我们因此携上智慧和勇气
让它们统领着我们
让我们的欲望得到节制、得到管理
而这就是正义！
它将带领我们走向大光明，走向真和美！
大光明是一个绝对的存在！
它绝对简单、绝对确定、绝对秩序同时又绝对自由。
大光明，一个绝对真、绝对美的世界！
经验世界却是变动不居的存在！
它丰富，同时也混乱
它禁锢，却没有同时产生秩序
在这里，真，以及美都是相对
大光明处上，轻灵如天
经验世界居下，广袤若地
而生命，是一条光明河流
它发源于经验之地，穿行过漆黑的虚空
奔向大光明！
（二）
而这条生命河流是一个整体！
它由两部分组成
其一为生命形式，另一为生命实质
生命形式变动而丰富多样
生命的实质则为一
这同一的生命实质灌注了多样的生命形式
这多种生命形式又一同承载着生命的实质
抛弃彼一，则无从表现此多
离开此多，则无以承载彼一
（三）
各不同的生命形式有其不同的天性(nature)!
而正义(justice)，是：
不同的生命形式得到合适地灌注，各自完成其天性，
成就其独特的自己，并相互谐和、共同组成生命之整体！
当正义得以实现
生命的实质与其形式二者融合
生命河流与大光明光芒合一
生命整体达到其完善的境地
（四）
而人，人之整体
以及其它一切可能的智慧生命
是这条生命光明河的护航者
人的天然使命是：
引领并守护这条光明河流
使其光明不致消亡在漆黑的太空
并带领它最终溶入完美的大光明境地！
（五）
为了成为一个合格的护航者
人需要懂得节制
而节制是：谐和充盈着人之整体
此外，还需要有智慧，以及勇气
唯智慧可以引领光明河前进的方向
唯勇气可以抵抗黑暗的吞噬，光明之消亡
护航者各有其不同的天性
有长于观察，有长于解题
有长于思想，也有长于构建体系
更有一些，长于创造，长于发现新的天地
而正义之体现正在于：
这些天性不同的人，各自完成其自己
做好自己应该做的事情，不去干涉和妨碍他人
并且最终得到他们所应该得到的
（六）
最后，我们来谈谈个体，谈谈他，我，还有你
我们各自不同，但我们都应该自成一个完整而谐和的生命体
让我们的理性与激情各行其事
让我们因此携上智慧和勇气
让它们统领着我们
让我们的欲望得到节制、得到管理
而这就是正义！
它将带领我们走向大光明，走向真和美！
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